La accidentada salida del estadio
PRIMERA PARTE
Partido de clasificación para la Copa Mundial de la FIFA 2014 que se celebrará en Brasil. Las selecciones de Chile y Venezuela disputan en Santiago de Chile el partido correspondiente a la liguilla elimitoria.
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El árbitro pita el final del encuentro y la gente se dispone a abandonar el estadio. Por un problema electrónico, las puertas de salida han quedado bloqueadas, de tal manera que sólo se han podido abrir 2 puertas de emergencia, por las que irá saliendo todo el público.
Tras la confusión inicial, la gente comienza a darse cuenta del problema, y empieza a abandonar el estadio, de tal forma que, tras las personas que abandonaron el estadio en el primer minuto, cada minuto hay fuera del estadio el doble de personas que en el minuto anterior.
Al final, tras 10 minutos, el estadio queda completamente vacío.
Si en vez de 2 puertas, los responsables de seguridad hubieran conseguido abrir 4 puertas, y la gente hubiera ido abandonando el estadio al mismo ritmo de salida,
¿En cuántos minutos hubiera quedado vacío el estadio en este caso?
Pasa a la segunda parte para conocer la solución
SEGUNDA PARTE
En un primer lugar, todo apunta a que si con 2 puertas la gente ha desalojado el estadio en 10 minutos, con 4 puertas abiertas el estadio se debería quedar vacío en 5 minutos (la mitad del tiempo), pero no es así.
Vayámonos al minuto 10. Ahora todo el público está fuera de estadio. Si hemos dicho que cada minuto que pasa, hay el doble de personas fuera del estadio, esto significa que al final del minuto 9, había fuera del estadio la mitad de personas que al final del minuto 10, esto es, la mitad del aforo del estadio.
Así es que al final del minuto 9, la mitad de los espectadores estaba fuera del estadio, y la otra mitad aún estaba dentro. Por tanto, si en 9 minutos la mitad del público ha salido a través de las 2 puertas abiertas, en el caso de que hubiésemos tenido otras 2 puertas abiertas, por esas puertas hubiese salido en esos 9 minutos la otra mitad del público. Lo cual implica que se necesitan 9 minutos, y no 5 minutos, como inicialmente podía parecer, para desalojar el estadio.
Vamos a verlo de otro modo:
Supongamos que en el primer minuto salen del estadio 50 personas por cada puerta, esto es, 100 personas en total. Tras el segundo minuto, las personas que estarán fuera serán el doble, esto es, 200 personas. Seguimos con el mismo cálculo, y tendremos tras 3 minutos a 400 personas fuera del estadio, 800 personas tras 4 minutos... y así hasta llegar al minuto 10. Vamos a ver cómo se refleja esto en la siguiente tabla:
Ahora supongamos que son 4 las puertas que abrimos, y que por cada una de ellas salen 50 personas, igual que en el supuesto anterior. Veamos lo que ocurre:
Efectivamente, hasta el minuto 9 no habrán salido todos los espectadores del estadio, y no en el minuto 5 como en un principio preveíamos.
¿Imaginas ahora qué ocurrirá si abrimos 8, 16, 32 o 64 puertas? Efectivamente, ¡tan sólo ganaremos un minuto por cada vez que doblemos el número de puertas que estén abiertas!
El problema que supone este acertijo viene dado por que nuestro cerebro visualiza sin problemas las progresiones aritméticas (funciones lineales), pero le cuesta mucho representar mentalmente las progresiones geométricas.
De esta forma, tendemos a asimilar las progresiones geométricas a las aritméticas, lo que nos lleva a errores como el de este ejemplo, o como el que llevó al rey de Persia a ofrecer un premio al inventor del ajedrez, en forma de granos de trigo que crecían de casilla en casilla de forma geométrica. Pero eso será otra historia...
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