Un agujero negro... y rojo.
PRIMERA PARTE
Silvio Berlusconi está preocupado por la baja afluencia de público a San Siro en los últimos partidos.
Tras la eliminación en la Champions League, y la imposibilidad de ganar el Scudetto (Liga italiana), cada vez acuden menos seguidores a ver los partidos del AC Milán.
Por ello, Il Cavaliere ha pensado en una manera de convencer a la gente para que vuelva al estadio.
Así, en los próximos partidos, regalará la mitad de la recaudación del partido a uno de los aficionados que asistan al campo de fútbol.
El sistema de sorteo será el siguiente:
Cada persona, cuando entre en el estadio, elegirá una cifra entre el 0 y el 9 (ambos incluidos), con la que se irá formando un número.
Así, si el primer espectador que entra en el estadio elige el 1, el siguiente el 4, el siguiente el 3..., iremos formando el número:
1 4 3 ...
Este número tendrá tantas cifras como espectadores haya en el estadio.
Una vez que hayan entrado todos los aficionados, y tengamos ya el número completado, procederemos de la siguiente manera:
Formaremos un nuevo número, cuyas primeras cifras serán la cantidad de cifras pares que contiene nuestro número, las siguientes cifras serán la cantidad de cifras impares que contiene el número, y por último añadiremos el número total de cifras (impares + pares).
Así, si tenemos el número:
1 4 3 5 4 8 6 9 2 3 1 2 4 3 0 7 9
el número que escribiremos será el:
8 9 17 (8 pares, 9 impares, 17 cifras en total)
Con este nuevo número volveremos a proceder de igual forma. Y así tres veces más.
En total, realizaremos el proceso 5 veces.
El premio consistente en la mitad de la recaudación se entregará a aquel aficionado cuyo número de butaca coincida con el número resultante de todo este proceso. (Todas las butacas de San Siro están numeradas del 1 al 81.277).
Con este sorteo, Berlusconi consiguió durante unas jornadas que el estadio se volviese a llenar. Los aficionados estaban encantados con la posibilidad de llevarse a casa un estupendo premio. Pero poco a poco los asistentes han empezado a decrecer nuevamente.
¿Cuál crees que es el motivo?
Pasa a la SEGUNDA PARTE para conocer la solución.
SEGUNDA PARTE
Pues parece que los aficionados sólo volverán cuando el AC Milán recupere el nivel deportivo de hace unos años. Porque está claro que el incentivo económico no ha bastado para recuperar el nivel de asistencia en San Siro.
Sobre todo cuando se ha dado a conocer el listado de los agraciados por el sorteo. Y es que todos los premios hasta la fecha han sido entregados al mismo espectador: Silvio Berlusconi.
¿Cómo es esto posible?
Veamos qué es lo que ocurre una vez que se ha llenado el estadio.
Tenemos un número de 81.277 cifras:
271828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354
759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563
073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416
750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183
860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697
720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794
686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803
318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701
983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099
618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961
048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631
409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310
720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981
933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732
972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771
943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342
251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612
549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931
505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644
791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054
133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661
352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494
650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392
076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572
481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322.......
..........................................................y así unas 40 veces más.
Hay distintas posibilidades, que pueden ser:
que todos los espectadores hayan escogido una cifra impar: 08127781277
que haya menos pares que impares, por ejemplo: 1258115281277
que las cifras pares e impares sean muy parecidas: 406394063881277
que haya más pares que impares, por ejemplo: 71763951481277
o que todos hayan escogido una cifra par: 81277081277
Así, vemos que el número que obtendremos después del primer proceso tendrá entre 11 y 15 cifras.
En el caso de que este número tenga el mayor número de cifras posible, esto es, 15 cifras, y siguiendo el mismo razonamiento, obtendremos tras el segundo proceso un número de 4 o 5 cifras:
01515, 11415, 21315, ..., 7815, ..., 15015
Nos ponemos nuevamente en el caso de que tenga el mayor número posible de cifras, en este caso, 5 cifras. Aplicamos otra vez el procedimiento, y los posibles resultados ahora serán de 3 cifras.
055, 145, 235, 325, 415, 505
Tras aplicar el mismo procedimiento una cuarta vez, obtendremos un número de 3 cifras, que estará entre los siguientes:
033, 123, 213, 303En el primer caso: 033, si aplicamos una quinta vez el proceso, obtenemos el número 123, (1 número par, 2 impares, 3 en total).
En el caso del 123, obtenemos tras una quinta aplicación el número 123 nuevamente (1 número par, 2 impares, 3 en total).
En el caso del 213, obtenemos el 123 (1 número par, 2 impares, 3 en total).
Y en el caso del 303, obtendremos también el 123 (1 número par, 2 impares, 3 en total).
Así es que tras cinco aplicaciones del método, e independientemente del número del que hayamos partido, obtendremos en todos los casos el 123, que coincide, curiosamente, con el número del asiento de Berlusconi...
Estamos ante un caso de 'agujero negro matemático'. Al igual en Física nos encontramos con agujeros negros de los que nada puede escapar de ellos, ni siquiera la luz, también en Matemáticas se da esta curiosidad científica.
De esta forma, hay expresiones matemáticas y secuencias de operaciones que siempre nos llevan a un 'agujero negro' que atrae al resto de números, independientemente de la cifra de que partamos.
En realidad, para cada número podemos generar una secuencia de pasos que le conviertan en un agujero negro.
Además, podemos encontrar agujeros negros en procesos geométricos y aritméticos, e incluso en sucesiones alfanuméricas. Aquí hemos tratado el agujero negro del 123 (o del 213, si escribimos antes las cifras impares que las pares), pero existen otros muchos casos igualmente curiosos.
Por ejemplo, podemos coger un número cualquiera. Hallamos todos sus divisores, incluyendo él mismo y el número 1, y sumamos todos los dígitos de los divisores. Con el resultado volvemos realizar el mismo proceso, y así hasta que lleguemos al 'agujero negro'. Veremos cómo siempre obtenemos el número 15.
También podemos escoger cualquier número, lo escribimos en letra y contamos los caracteres. Con el número de caracteres obtenido volveremos a hacer lo mismo. Al final de este proceso, veremos que en este caso podemos encontrarnos con dos agujeros negros: el 5-CINCO o el bucle 6-SEIS-4-CUATRO-6-SEIS... Si realizamos este ejercicio en inglés, llegaremos siempre al número 4-FOUR.
Nos encontraremos también con el problema de Collatz, que consiste en lo siguiente: vamos a construir una sucesión tal que an+1 = an/2 si an es par, y an+1 = 3 an+1 si es impar. Al final, siempre llegaremos a un momento en que los términos con valor 4-2-1 se repetirán de forma indefinida.
O con la famosa constante de Kaprekar. Seleccionamos un número de 4 cifras, las ordenamos de mayor a menor, las ordenamos también de menor a mayor, restamos las 2 cantidades, y repetimos este proceso con el nuevo número obtenido las veces necesarias hasta que el número se repita. Aquí, y tras 7 iteraciones como máximo, obtendremos el número 6174, llamado constante de Kaprekar, en honor a su descubridor, el matemático hindú C.R. Kaprekar.
Si te interesó el tema, puedes consultar también:
En español:
Magia y agujeros negros Pedro Alegría
Constante de Kaprekar Wikipedia
Kaprekar Wikipedia
Conjetura de Collatz Wikipedia
El 123. Un agujero numérico Aprendiendomatematicas.com - Malena Martín
Una curiosa propiedad del 123 Gaussianos.com
En inglés:
Even, Odd and Total Number of digits Cut the Knot
Kaprekar constant Wikipedia
Kaprekar Wikipedia
Mysterious number 6174 Plus.maths.org - Yutaka Nishiyama)
Kaprekar routine Mathworld - Weisstein, Eric W.
Collatz conjecture Wikipedia
Another black hole number Jwilder.edublogs.org
Black hole number 15 Goodtoknowit.blogspot.com - Sunil Kumar
Mathematical black holes Recreational and educational computing - Dr. Mike Ecker
En catalán:
Constant de Kaprekar Wikilingua.net
Conjectura de Collatzr PuntMat.blogspot.com
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