Euroaniversaris 2012
PRIMERA PART
Michel Platini ha decidit regalar en cada partit del campionat, durant la disputa de l'Eurocopa 2012 de futbol de Polònia i Ucraïna, unes medalles commemoratives a aquells jugadors titulars de les dues seleccions què juguin cada partit i què celebrin els seus aniversaris el mateix dia de l'any.
Per exemple, si a un partit hi han dos jugadors titulars (siguin del mateix equip o d'equips contraris) què facin els anys el 23 de febrer, la UEFA els hi regalarà una medalla a cadascú d'ells.
A la Eurocopa 2012 es disputaran un total de 31 partits, pel qual la UEFA ha estimat que comprant 10 medalles en tindran prou per a regalar-les-hi a aquells futbolistes que compleixin l'anomenat requisit. És a dir, pensen què en 5 partits es produirà aquesta circumstància.
Creus que els sobraran medalles, n'hi haurà prou, o hauran de comprar-ne més?
Passa a la segona part per a conèixer la solució
SEGONA PART
Probablement la teva resposta es correspondrà amb la què intuitivament dona la major part de la gent: si dividim els 22 aniversaris dels jugadors què integren les alineacions titulars entre els 365 dies de l'any, obtenim una xifra de 0,06027. Això significa que els aniversaris de tots els jugadors suposen només un 6,027% del total de dies de l'any.
Així que hem d'esperar que hi hagi una probabilitat d'un 6,027% de que els dos jugadors coincideixin al seus aniversaris. Si apliquem aquest percentatge als partits què es disputen, tenim que el 6% de 31 partits és igual a 1,87 partits. És a dir, que en aproximadament dos partits tindrem un parell de jugadors que compliran anys el mateix dia, i per tant necessitarem només 4 medalles per a lliurar durant l'Eurocopa.
I com ja hauras endevinat, la resposta correcta és molt diferent de la què considerem com a 'lògica'. Per a la resolució del problema plantejat, primer haurem d'esbrinar quina és la probabilitat de que en un partit coincideixin al camp de futbol dos jugadors què compleixin els anys el mateix dia. Per això, ens resultara més senzill d'esbrinar quina és la probabilitat de que no hi hagi cap parell de jugadors que celebrin l'aniversari el mateix dia.
Comencem amb 2 jugadors. El segon jugador podrà complir els anys qualsevol dels 364 dies restants de l'any diferents del dia en què fa els anys el primer d'ells. Per tant, els casos favorables són tots els dies de l'any llevat del de l'aniversari de la primera persona (364); i els casos possibles són tots els dies de l'any (365). Així, la probabilitat de que no facin els anys el mateix dia serà de:
Prenguem-hi un tercer jugador. Comptant amb el fet de què els dos primers no coincideixen al seus aniversaris, ara tenim disponibles 363 dies als quals el tercer jugador pot fer els anys sense coincidir amb els altres dos jugadors: això és, una probabilitat de 363/365 sobre la probabilitat de 364/365 de que els dos primers no coincideixin. És a dir, una probabilitat de:
Seguim agafant jugadors. Pel quart, la probabilitat de no coincidir amb els altres tres serà de 362/365. I la conjunta de que no coincideixin els 4, serà de:
Si continuem amb aquest procediment fins al darrer dels 22 jugadors que han sortit al terreny de joc, la probabilitat de no coincidir amb els altres 21 és de 343/365. I la conjunta de que tots ells no coincideixin entre si serà de:
Sorprenentment, el resultat és d'un 52,43%. Així que podrem dir que, al contrari, a un 47,57% dels partits, algun jugador sí farà els anys el mateix dia que altre, o d'una altra manera, en un 47,57% dels partits es donarà la paradoxa de que hi ha un parell de jugadors que celebren el seu aniversari a la mateixa data, contrariament al què ens dicta la nostra intuïció.
I com a l'Eurocopa 2012 es celebraran 31 partits, el 47,57% de 31 partits és igual a 14,75, així que en aproximadament 15 partits veurem a les alineacions inicials dos jugadors que van nèixer el mateix dia de l'any, ho que vol dir que necessitarem almenys 30 medalles.
Per tant, Michel Platini hauria d'anar ràpidament a la joieria per a encarregar més medalles, ja que les 10 previstes són insuficients per a totes les que hauran de donar.
La qüestió és que normalment tendim a imaginar la probabilitat de que, partint d'un jugador concret, hi hagi un altre l'aniversari del qual coincideixi amb el seu (ver imatge de sota). Pensem que 22 dies (els aniversaris dels 22 jugadors) és una fracció prou petita respecte al possible nombre de dies distints (365) com per a esperar que es repiteixin els aniversaris. Així, la probabilitat amb 22 jugadors l'estimem molt baixa (22/365).
La clau del tema és que hi han nombroses possibles parelles que s'hi poden formar segons anem augmentant el nombre de persones del grup. Concretament, amb 22 jugadors es poden formar 231 parelles distintes de jugadors (veure imatge de sota). Per aixó la probabilitat torna a ser tan alta en un grup tan petit.
D'aquesta forma, i aplicant-hi les fòrmules matemàtiques que describim més endevant, obtenim pels 22 titulars ( n = 22 ) una probabilitat de 0,475695 (un 47,57%).
Si afegim l'àrbitre ( n = 23 ) ja passem del 50%, exactament una probabilitat del 50,73%.
Amb els 2 liniers ( n = 25 ) la probabilitat puja al 56,87%.
I si sumem els 12 suplents de cada equip, els 2 jutges d'àrea, i el quart àrbitre ( n = 52 ) arribem a una probabilitat del 97,80%. Un 97,80% amb només 51 persones!
Aixó és el que s'anomena paradoxa dels aniversaris, la qual estableix que si hi han 23 persones reunides, hi ha una probabilitat del 50,73% de que almenys dues d'elles coincideixin en la data de naixement (dia i mes), i per a 57 o més persones la probabilitat sobrepassa el 99%.
En realitat, no es tracta d'una paradoxa, car no implica cap contradicció lògica; és una paradoxa al sentit de que la realitat matemàtica contradiu la intuïció. Molta gent pensa que la probabilitat és molt més baixa, i que es necessiten moltes més persones per que s'aconsegueixi la probabilitat del 50%.
Finalment, destacar que si bé en tot aquest procediment hem obviat als nascuts un 29 de febrer,
gairebé és ben cert que no hem tingut en compte la posibilitat de que a alguna selecció juguin uns germans bessons, o de que els seleccionadors podrien ser condicionats pel tema del lliurament de les medalles a l'hora de fer sortir com a titulars a uns jugadors en comptes d'altres, o que totes les dates són equiprobables, és a dir, que la distribució dels aniversaris és uniforme al llarg de tot l'any.
Així, per exemple, i com podeu comprovar a la taula del costat, hi han dates on es concentren els aniversaris, y dates a les que no neixen moltes persones, pel qual les probabilitates de que dues persones facin els anys el mateix dia són majors que 1/365. Així que, encara n'haurien de comprar més medalles!
En termes matemàtics, tot això ve donat per les següents fòrmules. Per a n persones tals que:
Tenim que la probabilitat p de que els seus aniversaris no coincideixin el mateix dia l'obtenim amb la següent fòrmula:
Si fem servir factorials, ens resta la següent expressió:
Sent aquesta la probabilitat de que no hi hagi dues persones els aniversaris dels quals coincideixin, la probabilitat de que almenys hi hagi una parella que celebrin l'aniversari el mateix dia, és a dir, la probabilitat de que en un conjunt de persones hi hagin dues que facin els anys el mateix dia de l'any és:
Un cop ha finalitzat l'Eurocopa 2012, podem fer un recompte de quantes medalles s'haurien lliurat. Vegem què coincidències d'aniversari es van produir en les alineacions inicials:
Pol - Grè: Wasilewski i Papastatopoulos (9 Juny)
Ità - Cro: Bonucci i Srna (1 Maig)
Cro - Esp: Pleticosa i Silva (8 Gener)
Ucr - Frà: Khacheridi y Debuchy (28 Juliol), Tymoshchuk i Mexes (30 Març), Shevchenko i Konoplyanka (9 Setembre)
Ucr - Suè: Shevchenko i Konoplyanka (9 Setembre), Isaksson i Ibrahimovic (3 Octubre)
Suè - Frà: Isaksson i Ibrahimovic (3 Octubre), Bajrami i Ben Arfa (3 Juliol)
Suè - Ang: Isaksson i Ibrahimovic (3 Octubre)
Ang - Ucr: Hart i Garmash (19 Abril)
Por - Esp: Veloso i Iniesta (11 Maig)
Ale - Grè: Klose i Papastathopoulos (9 Juny)
Com podeu comprovar, s'haurien d'haver lliurat 28 medalles, només 2 menys de les què haviem calculat!
Si has arribat fins aquí, i desitges fer-nos qualsevol comentari sobre aquest tema, pots enviar-nos un correu amb el següent enllaç: contact@matifutbol.com . Agraïm enormement la teva col·laboració, ja que els teus comentaris són molt útils per poder millorar la nostra pàgina.
Si t'ha agradat la nostra endevinança, pots compartir-la al facebook o al twitter .
I si a més vols informar-te'n de les nostres noves publicacions, pots seguir-nos als nostres perfils al facebook i al twitter
Regressa a la primera part
Torna a la Classificació si vols veure més trencaclosques.
